LAGRANGE Joseph Louis de "Théorie des fonctions analytiques contenant les principes du calcul différentiel, dégagés de toute considération d'infiniment petits, ..."

Première définition de la notion de dérivée de façon algébrique grâce au développent de Taylor, sans passer par les infiniment petits, et la mise en place des notations des fonctions et de leurs dérivées -f(x), f'(x), ...- telles que nous les utilisons encore aujourd'hui. Un jalon de l'étude des fonctions. 

Suite du titre : "... d'évanouissants, de limites et de fluxions et réduits à l'analyse algébrique des quantités finies. Troisième édition. Revue et suivie d'une note par J.-A. Serret".

Editeur : Bachelier, Paris, 1847. Troisième édition la première étant de 1797 et la deuxième de 1813.

in-4 (21,5 x 27 cm). Reliure demi chagrin violine et percaline violine sur les plats. Marque dorée du Lycée de Lyon estampée sur le premier plat. Dos à 4 nerfs avec titre doré et fleurons dorés dans les caissons. Discrètes fentes partielles aux deux mors. Tranches mouchetées de brun. xii pages (Faux titre, Catalogue de l'éditeur, Titre, Avertissement, Avertissement de la deuxième édition, Table des matières) et 399 pages. Rousseurs et taches éparses. Cachet de Bibliothèque difficilement lisible sur la page de titre, pp. 21 et 399 (Jeanson de Sailly ?). Bel exemplaire.

Ouvrage avec une Introduction, trois Parties et une Note de Serret sur la Théorie des fonctions analytiques in-fine. Introduction : Des fonctions en général. Des fonctions primitives et dérivées. Des différentes manières dont on a envisagé le calcul différentiel. Objet de cet ouvrage. Première Partie : Exposition de la théorie, avec ses principaux usages dans l'analyse (avec la définition des nouvelles notations des fonctions). Deuxième Partie : Applications de la théorie des fonctions à la géométrie. Troisième Partie : Application de la théorie des fonctions a la mécanique. La table des matières détaillée de l'édition de 1813 se trouve sur le site Mathdoc.

D'après l'article "Lagrange", par François Goichot, 2017 : "Ce traité est issu de l’enseignement de Lagrange à l’École Polytechnique de 1795 à 1799. Près d’un siècle après son invention, le calcul différentiel et intégral continuait à présenter des difficultés importantes quand il s’agissait d’en donner un exposé cohérent. En particulier, la définition des différentielles nécessitait un recours à l’infini difficile à contourner. Dans ce traité, Lagrange entend manipuler les fonctions par leur seul développement en séries entières selon des méthodes qu’il qualifie de purement algébriques. La formule de Taylor apparaît alors comme le fondement de l’Analyse, les fonctions dérivées, avec les notations en accents que nous connaissons aujourd’hui, sont utilisées pour la première fois dans un traité destiné à une large diffusion."

Cité au DSB (Dictionary of scientific biography) VII p. 570 (en PDF) et dans Histoire des mathématiques Tome 2 de Walter William Rouse Ball p. 97 : "... son objet est de substituer au calcul différentiel un groupe de théorèmes basés sur le développement en série des fonctions algébriques. ... Lagrange pensait pouvoir ainsi éviter les difficultés que les philosophes croyaient voir dans l'exposition alors admise du calcul différentiel, et qui avaient trait à l'emploi des quantités infiniment grandes et infiniment petites."

Pour aller plus loin sur le sujet on pourra consulter : 1.  Phili, Christine. Les idées de Joseph Louis Lagrange dans la théorie des fonctions analytiques. Séminaire de Philosophie et Mathématiques, no. 5 (1982), pp. 1-35 où l'auteure replace le texte dans son contexte historique en particulier le prix "pour une théorie ... de l'infini mathématique" proposé en 1784 par l'Académie de Berlin, dont Lagrange fut le Président, et les travaux de Condorcet et d'Arbogast (Mutzig,4 octobre 1759 - Strasbourg, 8 avril 1803 mathématicien, avocat et homme politique français d'origine alsacienne). 2. L'article du site ChronoMath, qui permet de mieux appréhender l'apport de Lagrange et en particulier les  simplifications des notations fonctionnelles amenés par Lagrange dans ce livre (en introduisant par exemple la notation f(x) pour une fonction numérique et f'(x) pour la fonction dérivée de f). 3. L'analyse critique du texte de 1847 (cet exemplaire) dans le blog de Nicolas Bouleau.

Joseph Louis de Lagrange (en italien Giuseppe Luigi Lagrangia ou aussi Giuseppe Ludovico De la Grange Tournier), né à Turin en 1736 de parents français descendants de Descartes et mort à Paris en 1813, est un mathématicien, mécanicien et astronome, originaire du royaume de Sardaigne et naturalisé français. À l'âge de trente ans, il quitte Turin et va séjourner à Berlin pendant vingt-et-un ans. Ensuite, il s'installe pour ses vingt-six dernières années à Paris où il prend la nationalité française en 1802.

Joseph-Alfred Serret (30 août 1819, Paris - 2 mars 1885, Versailles). Mathématicien et astronome français.

REF. 2362 D1